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　　免费在线 年惯性导航试题（回忆版） 1、论述天文导航、卫星导航、惯性导航各自的特点。 2、用四元数表示从0°经线°N 的地理坐标系的坐标变换。 3、某一物体沿本初子午线以速度v 沿正北方向运动，其中地球半径为R，求此物体在30°N 时的指令角速度 4 、惯性导航系统中的两个回路是什么？有什么作用？ 5、论述傅科摆在45°N和90°N时摆面速度有什么不同？ 6、高度通道为什么不稳定？应该怎么引入阻尼？ 7、推导比力方程 8、方程描述的是那两个坐标系的误差？误差来源是什么？ 9、已知一捷联导航系统上装有一个三轴加速度计，该加表在系统静止状态下某一时刻的输 出为 = 0.5g， = 0.15g，求该导航系统的姿态角。 人 许 何 名 无 1. 基本公式: 2 转动惯量：I r dm ；动量定理：H Iw，动量矩的方向与角速度w 方向相同； （在转子陀螺的讨论中，常将转子具有的动量矩成为叫角动量，角动量的单位： 克力 ·厘米 ·秒 1 =980 达因·厘米 ·秒 克·厘米 秒） =980 2/ dH 动量矩定理：M （ 与 的方向不一定相同）；陀螺力矩：M H w； i M H G dt dr dr  w r w 哥式定理： ；（ 是坐标系 相对坐标系 的旋转角速度） n m dt m dt n mn mn  dH    、动量矩定理  M 的具体应用 （陀螺进动问题）。 与 方向不一定相同。 2 H M dt 3、机械转子陀螺仪的两个基本特性 （进动性与定轴性）。对表观运动的解释。 dH （1）定轴性：根据动量矩定理：M i ，当M=0 时，H 相对惯性空间保持恒定不变，即转子自 dt 转轴指向相对惯性空间恒定不变，这就是陀螺的定轴性。（2）表观运动：当自由陀螺的角运动与地球自 转角速度间的夹角  0时，地球上的观察者所看到的陀螺自转轴以- wie 为角速度作旋转，旋转所形 人 许 何 成的曲面为一圆锥，对称平行于地轴，半锥角为 ，陀螺的这种运动称为表观运动。（）进动性：当 名 3 无 双自由度陀螺在某一环架轴上有作用力矩M 时，陀螺绕另一环架轴以w 作进动运动：角动量H 以最短 M 路径倒向外力矩M，由此确定进动角速度的方向；进动角速度的大小由w 确定。同时，一但存 H 在外力矩，就马上出现进动角速度，所以陀螺进动是一种无惯性运动。       、陀螺进动的定量表示：H M （进动方程）。陀螺力矩M H  ：（产生的原因： 是外部 4 g M 施力者 （内环）加到陀螺转子上去的，根据牛顿第三定律描述的作用和反作用关系，转子一定会对施力 者作用有反作用力矩Mg 、作用对象：内环九游体育官方平台）。 (s) H k 5、单自由度积分陀螺仪的传递函数 （D  0，C 0 ） g  (s) s(I sD) s( s1) I o g 6、挠性陀螺仪动力调谐的物理意义：动力调谐的实质上是平衡环的惯性力矩和陀螺力矩与弹性恢复力 c 2 矩达到了平衡，从而消除常值干扰力矩。动力调谐条件。：K  (a ) 0其中，K 为弹性力矩 2  系数，a 为平衡环的赤道转动惯量，c 为平衡环的极转动惯量， 为电机的驱动角速度。 （设计中必 c 须保证a  ） 2 8、加速度计的输出包含比力f。f=a+g f 定义为作用在单位质量上的非引力外力。 9 对 比力方程的解释，其矩阵表达式。   T T T T T T V V f  (2  )V  g eT ——运载体相对地球的加速度； eT ie eT eT f ——加速度计输出； V ——哥氏加速度，由运载体相对地球运动 （相对运动）和地球旋转 ie eT  V g （牵连运动）引起； eT eT ——运载体保持在地球表面运动引起的对地向心加速度； ——重力 加速度 。矩阵表达式：    VeTx  T   T T T T    f 0  (2  ) 2  ) V   0  x iez eTz iey eTy eTx     T   T T T T      V f  2  0  (2  )  V  0  eTy   y   iez eTz iex eTx   eTy      T   T T T T        f  (2  ) 2  ) 0 V g VeTz   z   iey eTy iex eTx   eTz      10、根据平台实现方式的不同，惯导系统可分为哪两大类？按照平台的实现方式不同，我们将惯导系 统非为：平台式惯性导航系统 （用机电控制方法建立起物理实体平台，用于模拟所要求的导航坐标系） 人 许 捷联式惯导系统 （依靠算法建立起导航坐标系，即平台坐标系以数字平台形式实现）。 何 名 无 11、地球有哪些种描述模型：@大地水准体：通过全球海平面的地球重力场等势面围城的空间体@圆球： 球心位于地心,半径R=6371km；@参考旋转椭球体:中心位于地心,分别以Re 和Rp 为半长轴和半段周的 椭圆绕地球自转轴旋转180 度所形成的椭球体，其中Re 和Rp 通过大地测量确定。垂线和纬度有哪几 种定义：设P 为地球表面某一点，过点P 作大地水准面、旋转椭球面及圆球面的法线，@大地水准面的 法线为P 点的天文垂线，也称真垂线；@旋转椭球面的法线为P 点的地理垂线；@圆球的法线为P 点的 地心垂线。@天文垂线和赤道平面的夹角为P 点的天文纬度;@地理垂线和赤道平面的夹角为P 点的地 理纬度;@地心垂线和赤道平面的夹角为P 点的地心纬度。惯导系统使用参考旋转椭球体，和与之对应 的地理垂线和地理纬度。重力加速度和引力加速度的关系：一个质量为m 的物体放到地球表面，则其 收到地球的万有引力mg 的作用，该力指向地心，同时维持质量为m 的物体跟随地球旋转需要有外力 提供向心力Fc，所以向心力实质上是万有引力的一个分量，用于维持质量为m 的物体跟随地球旋转， 重力 是万有引力的另一个分量。G g a mg c 12、主要曲率半径是沿什么方向的地球曲率半径？不同纬度的主要曲率半径是否相等？ 地球表面一P 点烟子午圈的曲率半径Rm 和沿卯酉圈的曲率半径Rn 成为旋转椭球面在P 点处的主曲率 半径。不同纬度的主要曲率半径不相等。 、坐标变换矩阵的求取方法。：若坐标系 绕 轴旋转 角后得到 ，则 13 OX YZ OZ  O X Y Z 1 1 1 1 2 2 2  cos sin 0 2   有记C1  sin cos 0 称为从坐标系1 至坐标系2 的变换矩阵，且上述矩阵坐标系2 经过坐  0 0 1   标系 仅绕 轴旋转 角后获得，我们称仅绕一根轴的旋转称为基本旋转。两坐标系间任何复杂的角 1 Z  1 位置关系都可以看作是有限次基本旋转的复合，变换矩阵等于基本旋转确定的变换矩阵的连乘，连乘顺 序依基本旋转的先后次序由右向左排列。 基本变换矩阵具有以下特点，（当旋转角为正时）：绕 轴旋转，则i Cii =1，且第 行和第 列其它元素全i i 为 ；对角元素均为余函数，非对角元素均为正弦函数；前一列的正弦符号为正，后一列的正弦符号为 0 负。 无限转动与旋转次序无关；有限转动有不可交换性。 当旋转角为小角度时，旋转后坐标系的最终角位置与旋转次序无关。  1 z y  P   CT z 1 x    一般有  ，（x y z 与坐标轴指向相同）。  y x 1    14、地球上的修拉振荡周期是84.4 分钟，不同星球上修拉调谐振荡周期不同，因为修拉调谐振荡周期 R T 2 人 许 公式为 ，而不同星球上的 和 不同，故而不同。 s R g 何 g 名 无 15、修拉调谐：跟踪地垂线Min 为周期做自由振荡的现象。为什么用单摆无法实现修拉调谐？ 如果要使单摆成为修拉摆，则摆线长度应等于地球半径，所以单摆不可能正确跟踪地垂线。物理摆也不 能成为修拉摆，当L=J/(mR)，R 为地球半径，要使L 尽量大，需在质量一定下转动惯量尽量大，设计成 环状R=0.5m，则L=0.04um,无法做到。 15、 惯导平台有哪些基本回路？他们的作用各是什么？ 有稳定回路和修正回路两个基本回路@稳定回路的作用:对消干扰力矩,实现平台台体的角位置稳定;修 正回路的作用:使平台跟踪给定的指令,并相对惯性空间以该指令角速度旋转。 16、 纯惯性高度的主要缺点是什么？可用什么方法改善？ 纯惯性高度通道系统无阻尼，不稳定，会发散。改善方法：常引入其他系统提供的高度信息 （常采用气 压高度或无线电高度信息）使惯性高度通道具有阻尼，这可通过两种途径实现：1）采用回路反馈法， 一般采用二阶阻尼回路；2）采用卡尔曼滤波法。 18、指北方位惯导系统惯导平台模拟什么坐标系？指令角速度是什么？ 指北方位惯导系统惯导平台模拟的是地理坐标系；指令角速度为地理坐标系的旋转角速度：包括随地球 旋转的角速度ie 和由于运载体运动而引起的相对地球的旋转角速度eT 。 19 比较指北系统、自由方位系统、游移方位系统对方位陀螺仪的指令,指北系统的局限性。 1 ）指北系统方位陀螺的指令角速度为地理坐标系的旋转角速度在天 向的分量 ，即 V T  sinL E tanL ； ）自由方位系统方位陀螺的指令角速度为 ，即对方位陀螺不施 cmdz ie 2 0 R N 矩；T 03）游移方位系统的方位跟踪地球旋转，即方位陀螺的指令角速度为地球自转角速度在天 iTz 向的分量：T T  sinL 。 cmdz iTz ie V 局限性：由于指北系统方位陀螺的指令角速度为T  sinL E tanL ，随着纬度 的增高， cmdz ie L R N 对方位陀螺的施矩电流急剧上升，在极区根本无法工作。同时，在水平速度解算中有正切函数tanL，当 L 接近90 度是，速度中的计算误差被严重放大，甚至溢出。所以指北方位系统不能再高纬度地区正常 工作，只能适用于中、低纬度地区的导航。   20、设T、P、C 分别为理想平台系，实际平台系和计算平台系。若已知T→P 转角为 ，T→C 的转角                 为 ， → 的转角为 ，求 ， ， 三者的关系。 C P 21、指北系统的误差传播中的误差类型有：1）振荡型；2）常值型；3）积累型。 人 许 何 名 无  其中积累型的误差对精度影响最大。振荡型误差包括：1）地球振荡，频率为 周期为24 小时； ie 2）傅科振荡，频率为 sinL ；3）休拉振荡，振荡周期为84.4 分钟。 ie 23、指北系统初始对准过程中，为什么要引入内反馈回路？）因为东向通道和北向通道实质上是休 拉回路， 、 做无阻尼振荡，且振荡周期为84.4 分钟。为了提高系统的快速性和精度，故而引 x y 进阻尼，即内反馈回路。对准结束后应怎样处理这些内反馈回路？为什么？对准结束后摇去掉这些 反馈回路，从而保证东向通道和北向通道为休拉回路，跟踪当地的地垂线。罗经项是指什么？由于 存在方位失准角，平台相对当地水平面绕西向轴作北倾斜转动，选装角速度为  cosL ，此角 z ie 速度称为罗经项。罗经项作用：平台的向北倾斜转动使水平精对准确定的 发生变化，北向加速度 x 计感测这种倾斜变化，输出 g，经积分所得的 中含有 的信息。 x VN x 虚线反馈：二阶慢型水平对准回路 点划画线 二阶快型水平对准回路 双点划线：三阶水平对准回路。 24、初始对准的含义是什么？对准中利用了哪两个自然参考量？从罗经项中提取方位误差有哪两种方 法？方位对准精度受哪种误差源限制？ 1) 初始对准就是控制平台旋转，是平台坐标系与惯导系统使用的的导航坐标系重合；2）对准中利用了  地球自转角速度 和重力加速度g 两个自然参考量；3）从罗经项中提取方位误差的方法有：陀螺测 ie 漂和计算法方位对准；4）方位对准精度受水平加速度计的精度限制。 25、什么是四元数？有哪些描述形式？ 四元数是由四个元构成的数Q(q ,q ,q ,q ) q qiq j q k 描述形式：矢量式Q q q 复 0 1 2 3 0 1 2 3 0    u 数式Q q qiq j q k 三角式Q cos usin 指数式Q e 2 0 1 2 3 2 2 26、惯导系统使用了陀螺和加速度计。惯导系统最主要的优缺点是什么？由于惯性是所有质量体的基 本属性，所以建立在惯性原理基础上的惯性导航系统本身就能在全天候条件下，在全球范围内和任何介 质环境里自主地、隐蔽的连续进行的三位定位和三位定向。其优点可概括为：1)、自主性：不需要外部 信息2)、隐蔽性：不向外部发送信息3)、信息的完备性4)、适应性强：全天候、任何环境、任何地方、 抗干扰性强缺点：导航精度随时间增长而降低；成本高、价格昂贵。 T VN T VE 27 北方位管道系统瞬时对平 台的指令角速度：    sinL tanL cmdx cmdz ie R R M N 人 许 T VE 何   cosL 名 无 cmdy ie R N 29 水平式管道系统的方位轴模拟当地地垂线，这类系统有指北方位系统，自由方位系统和游移方位系 统。   30.单自由度陀螺单自由度陀螺仪的技术方程可以近似为：I aDa Ca Hw （D 为阻尼力矩系数， o 1 为弹性力矩系数， 为输出轴的转动惯量 （惯性张量）， 为陀螺转子的角动量， 为陀螺在输入轴 C I H w1 的角速度分量）   1）积分陀螺：若C=0，D  0，仅受阻尼约束时，I aDa Hw ，当达到稳态时，输出角与输 o 1  入角速度的积分成正比。2）速率陀螺：若D 0,C 0，即仅受弹性约束时，I a Ca Hw ， o 1 陀螺达到稳态时，输出角与输入角速度成正比。3 ）双重积分陀螺：若D 0,C 0 ，即  I a Hw ，得输出角与输入角速度的二次积分成正比。 o 1 4NA 31 光纤陀螺：光纤陀螺就其工作原理实质上光纤环构成的Saganac 干涉仪。L  c （ 为光纤环的绕制圈数， 为一圈光纤所包围的面积， 为光速， 为光纤环相对惯性空间垂直于光 N A c w L 2LD 纤环的角速度） 将上式写成相位差形式 2   c （ 为光纤环的绕制圈数， 为一圈光纤所包围的面积， 为光速， 为光纤环相对惯性空间垂直于光 N A c w 纤环的角速度，D 为光纤环直径，L 为光纤长度， 为光源波长）  N E  x 32 水平姿态和方位能达到的极限精度：xss  yss z min g g  cosL ie R 2  4 33 dm 2dh 实 心 转 子 Iz  2hd 2 hR 空 心 转 子 0 R 2  4 4 Iz  2hd 2h(R r ) r 人 许 何 名 无 光电惯导技术 第二章 惯性导航原理与实现 练习题 练习题① ★★★★★ 请推导矢量形式的惯性导航比力方程，即导航参考系中地速变化率的微分方程。 要求：1. 推导简单明了；2. 符号运用准确；3. 每一步骤能讲出所以然；4. 熟悉比力 方程中每一项的涵义。 练习题② ★★★★★ ⃑⃑ T 已知一矢量 ，其在某个坐标系中的投影列矩阵为v = [ ] 。请写出列向量v 的斜 1 2 3 ⃑⃑ 对称矩阵的表达式。并证明如下公式 （u 为另一矢量 的投影列矩阵）： ⟦v ×⟧ v = O3×1 2 ⟦v ×⟧ = −v2 + v vT 3 ⟦v ×⟧ = −v2 ⟦v ×⟧ ⟦(u × v) ×⟧ = ⟦u ×⟧ ⟦v ×⟧ − ⟦v ×⟧ ⟦u ×⟧ 练习题③ ★★★★★ 给定两个正交直角坐标系m 和n ，它们之间的方向余弦矩阵为Cm 。请推导如下公式： n ( m) ̂ m ̂ n Cn = ⋅ , , = 1,2,3 vm = Cmvn n ⟦vm ×⟧ = Cm ⟦vn ×⟧(Cm)−1 n n 练习题④ ★★★★★ 给定两个正交直角坐标系α和β ，坐标系α可看作是将坐标系β绕某个方向z旋转 角度得 人 许 到。旋转矢量定义为：ϕ = z 。请推导：何 名 无 sin 1 − cos 2 Cα = − ⟦ϕ ×⟧ + ⟦ϕ ×⟧ β 2 练习题⑤ ★★ 给定两个正交直角坐标系a 和b ，坐标系b 可看作是将坐标系a 绕某个方向z旋转 角 b ⃑⃑ 度得到。坐标系a、b 之间的旋转四元数为qa 。矢量 在这两个坐标系中的投影四元数 ~ 分别为va 和vb 。 ~ ~ 请将旋转四元数表示成方向z和角度 的表达式，并写出其坐标变换公式。 练习题⑥ ★★★★ 给定两个正交直角坐标系 n 和 b 。它们之间的方向余弦矩阵为Cn ，旋转四元数为qn 。 b b ~ 请证明： 2 2 2 2 ( ) ( ) + − − 2 − 2 + 0 1 2 3 1 2 0 3 1 3 0 2 Cn = [ ( ) 2 2 2 2 ( ) ] 2 + − + − 2 − b 1 2 0 3 0 1 2 3 2 3 0 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 − 2 + − − + 1 3 0 2 2 3 0 1 0 1 2 3 练习题⑦ ★★★ 请推导捷联惯导姿态矩阵微分方程： Ċ n = Cn ∙ ⟦ωb ×⟧ − ⟦ωn ×⟧ ∙ Cn b b ib in b 要求：1. 推导简单明了；2. 符号运用准确；3. 每一步骤能讲出所以然。 1.1 了解大地水准面，大地水准体，参考椭球的要领和各自的含义。 答：大地水准面：指在描述大地形状的时候，采用海平面作为基准，把“平静”的水平 面延伸到全部陆地所形成的表面。 大地水准体：指大地水准面所包围的几何体，也被称为“大地体”或“地球体”。 参考椭球：进一步精确近似地球为一个旋转椭球，称其为参考椭球。 1.2 有哪几种描述地球垂线、纬度和高度的方法？ 答：经度，纬度和高程是近地航行载体的位置参数。地球表面某点常用的垂线和纬度一 般有以下几种：垂线（地心垂线，地理垂线，天文垂线，引力垂线）；纬度（地心纬度， 地理纬度，天文纬度，引力纬度）；高程：空中载体所在点沿该点对应于参考椭球体的 法线方向离地球真实地形线 理解子午圈和卯酉圈的含义，地球主曲率半径是如何确定的？ 答：子午圈：地平坐标系或赤道坐标系中的大圆，即在地平坐标系中经过北天极的地平 经圈，或在赤道坐标系中经过天顶的赤经圈，是地平坐标系和第一赤道坐标系中的主圈。 卯酉圈：地平坐标系中的大圆。即与子午圈相垂直的地平经圈，它与地平圈相交于东点 和西点。 人 许 何 名 无 2 a(1e ) 子午圈面内主曲率半径为：Rm 2 2 3/ 2 (1e sin φ) a 卯酉圈面内主曲率半径为：Rm 2 2 1/ 2 (1e sin φ) 1.4 方向余弦：设A 为有限维欧几里得仿射空间，(O,B)为A 的标准正交笛卡儿坐标系，D 为 一轴,而 u 为 D 的单位向量。在基 B=(e1,e2,…,en)中 u 的所有分量正好是 u 与向量 e1,e2,…,en的夹角的余弦，因此称之为轴D 的方向余弦。 坐标变换阵：采用一定的数学方法将一种坐标系的坐标变换为另一种坐标系的坐标，它 们之前的关系可以用矩阵的形式表示出来，该矩阵即为坐标变换阵。 1.5 掌握惯性坐标系、地球坐标系、地理坐标系和载体坐标系的定义，掌握坐标系间的方位 关系和这种关系的确切表达方式，掌握推导坐标系间坐标变换矩阵的方法。 答：惯性坐标系：惯性坐标系是牛顿定律在其中成立的坐标系 地球坐标系：也称为地心地球固联坐标系（Earth-Centered, Earth Fixed ECEF ），坐标原点 在地心，与地球固联，随地球一起转动。 轴沿地球自转轴方向且指向北极， 轴与 oz ox 90 轴在地球赤道平面内， 轴在参考子午面内指向零度子午线， 指向东经 方向 oy ox oy 地理坐标系：也称为当地垂线坐标系或者东北天坐标系，原点位于运载体 在地球表 M 面的投影点， 轴沿的当地地理垂线的方向， ， 轴在当地水平面内沿当地经线 oz ox oy 和纬线的切线方向。 载体坐标系：用于表示载体对称轴的坐标系。通常取载体的重心 作为载体坐标系 O ox y z 的原点，三个轴分别与载体的纵轴、横轴和竖轴相重合，组成右手坐标系。 b b b 坐标系间方位关系及表达式： 地心惯性坐标系oxiyizi 和地球坐标系oxeyeze 之间的变换矩阵： cos t sin  t 0 ie ie e   C sin  t cos t 0 i  ie ie   0 0 1 地理坐标系OENx 和地球坐标系oxeyeze 之间的变换矩阵  sin  cos  0  n   C sin L cos  sin L

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